Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, причем известно, что tg A = 5/12, AC = 3. Найдите AB.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в вершине C, где угол A — это угол между катетом AC и гипотенузой AB, мы знаем, что тангенс угла A (tg A) равен 5/12, а длина катета AC равна 3. Необходимо найти длину гипотенузы AB.

1. Из определения тангенса угла A:

   $$\tg A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}.$$

   В нашем случае противоположный катет — это BC, а прилежащий катет — это AC. То есть:

   $$\frac{BC}{AC} = \frac{5}{12}.$$

   Поскольку AC = 3, подставим это значение:

   $$\frac{BC}{3} = \frac{5}{12}.$$

   Теперь решим относительно BC:

   $$BC = 3 \times \frac{5}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}.$$

   Таким образом, длина катета BC равна 5/4.

2. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы AB:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$

   Подставляем известные значения:

   $$AB^2 = 3^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 9 + \frac{25}{16}.$$

   Для удобства приведем 9 к общему знаменателю:

   $$9 = \frac{144}{16},$$

   и тогда:

   $$AB^2 = \frac{144}{16} + \frac{25}{16} = \frac{169}{16}.$$

   Теперь находим AB:

   $$AB = \sqrt{\frac{169}{16}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}} = \frac{13}{4}.$$

Ответ: длина гипотенузы AB равна 13/4.