Если в четырёхугольнике стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Высказывание при школьном понимании формулировки — верное.
Но важно аккуратно разобраться, что именно значит «стороны попарно равны».

1. Что понимают под «стороны попарно равны»

Обычно в школьной геометрии под этим в контексте четырёхугольников понимают:

В четырёхугольнике равны попарно противоположные стороны:
$AB = CD$ и $BC = AD$.

То есть каждая сторона равна именно противоположной, а не какой-нибудь другой.

Если понимать фразу так, то утверждение:

«Если в четырёхугольнике стороны попарно равны, то он параллелограмм»

— истинно. Это одна из обратных теорем к признакам параллелограмма.

Если же трактовать «попарно равны» как «существуют две пары равных сторон, но не обязательно противоположных», то можно получить дельтоид (например, «ромбовидный» воздушный змей): там две пары соседних сторон равны, но фигура не обязана быть параллелограммом. В таком вольном смысле фраза была бы ложной.

Дальше будем рассматривать стандартный школьный смысл: равны именно противоположные стороны.

2. Формулировка теоремы

Теорема.
Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

То есть:
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором

Докажем, что $ABCD$ — параллелограмм, то есть

3. Доказательство через равенство треугольников

Рассмотрим диагональ $AC$ и треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

В них:

• $AB = CD$ — по условию;

• $BC = AD$ — по условию;

• $AC$ — общая сторона.

Значит, по признаку равенства треугольников по трём сторонам (SSS):

Отсюда следует равенство соответствующих углов. Надо аккуратно понять, какие углы являются соответствующими.

Пусть соответствуют вершины:

• $A \leftrightarrow C$,

• $B \leftrightarrow D$,

• $C \leftrightarrow A$.

Тогда, в частности, получаем:

Теперь используем это для доказательства параллельности сторон.

3.1. Доказательство, что $AB \parallel CD$

Рассмотрим углы при диагонали $AC$:

• угол $\angle BAC$ — угол между сторонами $BA$ и $AC$;

• угол $\angle ACD$ — угол между сторонами $AC$ и $CD$.

Из равенства треугольников также следует:

(эти углы тоже могут быть взяты как соответствующие, в зависимости от выбранного взаимного соответствия вершин).

Если у двух прямых (здесь — $AB$ и $CD$) при секущей (здесь — $AC$) накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Значит,

3.2. Доказательство, что $BC \parallel AD$

Аналогично рассматриваем:

• $\angle BCA$ — угол между $BC$ и $CA$;

• $\angle CAD$ — угол между $CA$ и $AD$.

Из равенства треугольников:

Это снова накрест лежащие углы при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.
Следовательно,

Мы получили, что каждая пара противоположных сторон параллельна, то есть четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм.

4. Вывод и важное замечание

Итог: при обычной школьной трактовке

«Стороны попарно равны» = «равны обе пары противоположных сторон»,

утверждение

«Если в четырёхугольнике стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм»

является верным, и его доказательство строится через равенство треугольников и признак параллельности прямых.

Если же понимать «попарно равны» как «есть две пары каких-то равных сторон (не обязательно противоположных)», то тогда есть контрпример — дельтоид, и в такой трактовке утверждение уже ложно.