Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с равными сторонами $AB=AC$ и основанием $BC$.

1. Проведём биссектрису угла при вершине $A$, обозначим её $AD$ ($D\in BC$). В равнобедренном треугольнике эта биссектриса одновременно является медианой: треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AB=AC$, $AD$ — общая, $\angle BAD=\angle CAD$), откуда $BD=DC$.

2. Из равенства треугольников также следует, что $\angle ADB=\angle ADC$. Но эти углы — смежные, их сумма $180^\circ$, значит каждый из них равен $90^\circ$. Следовательно, $AD\perp BC$.

3. Теперь рассмотрим внешний угол при вершине $A$ (например, угол между продолжением $AB$ и стороной $AC$). Его биссектриса $AE$ перпендикулярна биссектрисе внутреннего угла при $A$ (общеизвестный факт: биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине взаимно перпендикулярны, так как они делят смежные углы, сумма которых $180^\circ$, пополам, то есть по $90^\circ$).

4. Мы уже установили, что $AD\perp BC$. Так как $AE\perp AD$, то из перпендикулярности к одному и тому же лучу следует параллельность: $AE\parallel BC$.

Итак, биссектриса одного из внешних углов равнобедренного треугольника (при вершине с равными сторонами) параллельна основанию треугольника. Что и требовалось доказать.