Радиусы пересекающихся окружностей равны 13 и 16, а длина их общей хорды равна 12. Найти расстояние между центрами окружностей.

Для решения задачи о расстоянии между центрами двух пересекающихся окружностей, можно воспользоваться геометрией.

Обозначим:

• $R = 16$ и $r = 13$ — радиусы двух окружностей;

• $L = 12$ — длина общей хорды;

• $d$ — расстояние между центрами окружностей, которое нужно найти.

Шаги для решения:

1. Построим треугольники:
   Известно, что общая хорда пересекает обе окружности. Для каждой окружности из центра проведём перпендикуляр к общей хорде. Эти перпендикуляры будут делить хорду пополам, а также будут являться высотами прямоугольных треугольников, в которых гипотенузы — это радиусы окружностей, а основания — отрезки от центра окружности до середины хорды.

2. Вычислим длину половины хорды для каждой окружности:
   Поскольку общая хорда длины $L = 12$, то каждая половина хорды будет равна:

   $$\frac{L}{2} = 6.$$

3. Используем теорему Пифагора для каждой окружности:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом окружности, перпендикуляром от центра до хорды (высотой) и половиной хорды. Теорема Пифагора для каждого из этих треугольников даёт следующие уравнения:

   Для окружности с радиусом $R = 16$:

   $$R^2 = h^2 + \left( \frac{L}{2} \right)^2.$$

   Подставляем значения:

   $$16^2 = h_1^2 + 6^2,$$ $$256 = h_1^2 + 36,$$ $$h_1^2 = 220 \quad \Rightarrow \quad h_1 = \sqrt{220}.$$

   Для окружности с радиусом $r = 13$:

   $$r^2 = h^2 + \left( \frac{L}{2} \right)^2.$$

   Подставляем значения:

   $$13^2 = h_2^2 + 6^2,$$ $$169 = h_2^2 + 36,$$ $$h_2^2 = 133 \quad \Rightarrow \quad h_2 = \sqrt{133}.$$

4. Теперь найдём расстояние между центрами окружностей:
   Расстояние между центрами двух окружностей можно выразить как сумму отрезков $h_1 + h_2$, так как это сумма высот в обоих прямоугольных треугольниках, которые мы нашли. Получаем:

   $$d = h_1 + h_2 = \sqrt{220} + \sqrt{133}.$$

   Приблизительные значения:

   $$\sqrt{220} \approx 14.83, \quad \sqrt{133} \approx 11.53.$$

   Тогда:

   $$d \approx 14.83 + 11.53 = 26.36.$$

Ответ: расстояние между центрами окружностей примерно равно 26.36 единиц.