Теорема о перпендикуляре к прямой, проведённом из точки, не лежащей на прямой

Теорема (о перпендикуляре к прямой, проведённом из точки, не лежащей на прямой):

Формулировка.
Пусть дана прямая $l$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой ($A \notin l$). Тогда:

1. Существует прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная прямой $l$.

2. Такая прямая единственна (то есть через точку $A$ можно провести к $l$ ровно один перпендикуляр).

Иными словами: из точки вне прямой к этой прямой можно опустить перпендикуляр, и он будет только один.

Пояснение смысла теоремы

Если точка $A$ находится “сбоку” от прямой $l$, то можно провести через $A$ множество различных прямых, пересекающих $l$. Среди них есть одна особенная: она образует с $l$ угол $90^\circ$. Именно она и называется перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к прямой $l$.

Доказательство (идея и ход рассуждений)

1) Доказательство существования

Рассмотрим на прямой $l$ две разные точки $B$ и $C$. Соединим их с точкой $A$: получим треугольник $ABC$.

Теперь посмотрим на отрезок $BC$, который лежит на прямой $l$. В любом треугольнике из вершины $A$ к стороне $BC$ можно провести высоту — это отрезок, опущенный из $A$ на $BC$ под прямым углом. Пусть высота пересекает $BC$ в точке $H$. Тогда

Но $BC$ — часть прямой $l$, значит перпендикулярность к $BC$ означает перпендикулярность ко всей прямой $l$. Следовательно,

то есть через точку $A$ перпендикуляр к $l$ существует.

(В школьной геометрии существование высоты в треугольнике — стандартный факт: из любой вершины можно опустить перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.)

2) Доказательство единственности

Предположим противное: через точку $A$ к прямой $l$ можно провести два разных перпендикуляра. Пусть это прямые $m$ и $n$, и обе они проходят через $A$ и перпендикулярны $l$.

Тогда прямые $m$ и $n$ пересекут $l$ (или, точнее, каждая из них имеет с $l$ общую точку пересечения) в каких-то точках $M$ и $N$. При этом:

Рассмотрим угол между $m$ и $l$ в точке $M$: он равен $90^\circ$. И угол между $n$ и $l$ в точке $N$ тоже $90^\circ$. Но важнее другое: через точку $A$ нельзя иметь два разных направления, оба образующие прямой угол с одной и той же прямой $l$. Иначе получилось бы, что через $A$ существуют две различные прямые, “строго вертикальные” относительно $l$, что невозможно: направление, перпендикулярное данному направлению (на плоскости), задаётся однозначно.

Более наглядно можно сформулировать так: если бы $m$ и $n$ были различны, то они образовали бы между собой некоторый ненулевой угол при вершине $A$. Но обе “смотрят” под прямым углом к одной и той же прямой $l$, значит их направления совпадают, то есть $m = n$. Противоречие. Следовательно, перпендикуляр единственен.

Часто используемое следствие

Точка $H$, в которую попадает перпендикуляр из $A$ на $l$, называется основанием перпендикуляра, а отрезок $AH$ — перпендикуляром (или высотой) к прямой.

Также важно: отрезок $AH$ оказывается самым коротким среди всех отрезков, соединяющих $A$ с точками прямой $l$. То есть расстояние от точки до прямой измеряется именно длиной перпендикуляра.

Итог

Из точки, не лежащей на прямой, к этой прямой можно провести перпендикуляр, и он только один.