В основании пирамиды лежит квадрат с диагональю равной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Большее боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 градусов. Чему равен объем пирамиды?

Пусть основание пирамиды — квадрат $ABCD$, вершина пирамиды — $S$. По условию одно боковое ребро перпендикулярно основанию; обозначим его $SA\perp (ABCD)$. Тогда точка $A$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания, а высота пирамиды равна

1) Найдём площадь основания.
Диагональ квадрата равна $6$. Для квадрата $d=a\sqrt2$, значит

Тогда площадь основания

2) Разберёмся, какое боковое ребро “большее”.
Так как $SA$ — высота, то длина любого другого бокового ребра выражается через высоту и расстояние от точки $A$ до соответствующей вершины основания:

а для вершины $C$, которая отстоит от $A$ на диагональ квадрата,

Поскольку $AC=6$ — наибольшее расстояние от $A$ до вершин квадрата, ребро $SC$ действительно самое длинное боковое ребро. Значит, именно оно наклонено к основанию под углом $45^\circ$.

3) Используем угол наклона ребра к основанию.
Угол между прямой $SC$ и плоскостью основания равен углу между $SC$ и её проекцией на основание. Проекция $SC$ на основание — это $AC$ (потому что $S$ проектируется в $A$, а $C$ уже лежит в основании). В прямоугольном треугольнике $SAC$ (прямой угол при $A$) имеем:

• $SA=h$ — вертикальная составляющая,

• $AC=6$ — проекция,

• $SC$ — гипотенуза.

По определению угла наклона $\alpha$ к плоскости:

При $\alpha=45^\circ$:

Отсюда

4) Находим объём пирамиды.