Через образующую цилиндра проведены две плоскости, угол между ними равен 120°. Площади получившихся сечений равны 1, радиус основания цилиндра равен 1. Найдите объем цилиндра.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса $r=1$ и высоты $h$. Возьмём образующую, через которую проведены обе плоскости. Образующая параллельна оси цилиндра, значит каждая из плоскостей содержит направление оси, то есть обе плоскости параллельны оси (они “вертикальные”).

1) Как выглядит сечение плоскостью через образующую

Вертикальная плоскость пересекает цилиндр по прямоугольнику:

• одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра $h$;

• другая сторона равна длине хорды основания, которую вырезает след этой плоскости на основании.

Пусть длина этой хорды равна $L$. Тогда площадь сечения

По условию $S=1$, значит

Так как обе площади равны 1, а высота цилиндра одна и та же, то у обоих сечений хорды имеют одинаковую длину $L$.

2) Геометрия в основании

Рассмотрим основание — окружность радиуса 1. Обе плоскости проходят через одну и ту же образующую, значит их следы на основании — это две прямые, проходящие через одну и ту же точку окружности. Без потери общности возьмём эту точку $P(1,0)$.

Пусть первая прямая в основании имеет направление под углом $\varphi$ к оси $Ox$. Тогда вторая отличается на $120^\circ$, то есть угол $\varphi+120^\circ$.

Длина хорды, которую даёт прямая через точку $P(1,0)$ с направлением $\varphi$, находится так: вторая точка пересечения с окружностью получается при параметре $t=-2\cos\varphi$, поэтому

Условие равенства площадей даёт равенство длин хорд:

Решим это условие. Достаточно приравнять квадраты:

Это приводит к уравнению

откуда

Значит возможны два разных значения $|\cos\varphi|$:

• при $\varphi=30^\circ$: $|\cos\varphi|=\frac{\sqrt3}{2}$, тогда

  $$L=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3;$$

• при $\varphi=120^\circ$: $|\cos\varphi|=\frac12$, тогда

  $$L=2\cdot \frac12=1.$$

То есть условие задачи допускает две геометрически возможные ситуации.

3) Находим высоту и объём

Так как $h=\frac1L$ и $r=1$, объём цилиндра

Случай 1: $L=\sqrt3$

Случай 2: $L=1$

Ответ