. В треугольнике  ABC. проведены отрезки  BM к стороне  AC и  AF к стороне  BC. Данные отрезки пересекаются в точке  T. Найди отношение площади четырёхугольника  TFCM к площади треугольника  ATB, если  = AM=CM,  ∠ = ∠ ∠CAF=∠BAF,  : = 1 : 4 AB:AC=1:4. Введи ответ

Пусть $BM$ — биссектриса угла $B$ (то есть $\angle ABM=\angle MBC$), а $AF$ — биссектриса угла $A$ (дано $\angle CAF=\angle BAF$). Также $AM=CM$, значит $M$ — середина $AC$.

Удобно ввести координаты и посчитать площади напрямую (отношение площадей от масштаба не зависит).

1) Координаты

Возьмём

По условию $AB:AC=4:1$, значит $AB=4$. Так как $BM$ — биссектриса и $M$ — середина $AC$, из теоремы о биссектрисе:

то есть $BC=4$. Тогда точка $B$ лежит на оси $x=0$, и

2) Точка $F$

Так как $AF$ — биссектриса угла $A$, то по теореме о биссектрисе

Значит $F$ делит $BC$ в отношении $4:1$ (ближе к $C$), и

3) Точка $T$

Точка $T$ — пересечение $AF$ и $BM$. Прямая $BM$ — это ось $x=0$.
Прямая $AF$ идёт из $A\left(-\tfrac12,0\right)$ в $F\left(\tfrac25,\tfrac{3\sqrt7}{10}\right)$.
Пусть

По $x$-координате:

Тогда