В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны параллелограмма относятся как 6:5. Определить стороны параллелограмма.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ — тот самый, который совпадает с углом вписанного параллелограмма. Тогда стороны треугольника, заключающие этот угол, равны:

Впишем параллелограмм так, как это обычно и понимается в подобных задачах: одна его вершина в точке $A$, две соседние стороны параллелограмма идут вдоль сторон треугольника $AB$ и $AC$, а противоположная вершина лежит на стороне $BC$.

Обозначим:

• $AD=x$ — сторона параллелограмма, параллельная $AB$;

• $AE=y$ — сторона параллелограмма, параллельная $AC$.

По условию стороны параллелограмма, параллельные этим сторонам треугольника, относятся как $6:5$, значит

Теперь используем условие «противоположная вершина параллелограмма лежит на $BC$».

Рассмотрим коэффициенты «сколько взяли» от направлений $AB$ и $AC$:

• По направлению $AB$ мы прошли долю $\dfrac{x}{AB}=\dfrac{x}{20}$.

• По направлению $AC$ — долю $\dfrac{y}{AC}=\dfrac{y}{25}$.

Точка на стороне $BC$ (если смотреть из $A$) получается как смешение направлений к $B$ и к $C$: сумма долей должна быть ровно 1. Поэтому выполняется ключевое соотношение:

Подставляем $x=6k,\; y=5k$:

Считаем:

Тогда

Следовательно,

Ответ: стороны параллелограмма равны $12$ см и $10$ см (сторона, параллельная $AB=20$ см, равна $12$ см; сторона, параллельная $AC=25$ см, равна $10$ см).