Средняя сторона треугольника на 1 больше наименьшей и на 1 меньше наибольшей стороны. Косинус среднего по величине угла равен 2/3. Найдите периметр этого треугольника.

Давайте разберём задачу шаг за шагом, как если бы я сам решал её на сайте вопросов и ответов.

Дано:

1. Пусть стороны треугольника будут $a \le b \le c$.

2. Средняя сторона $b$ на 1 больше наименьшей $a$ и на 1 меньше наибольшей $c$:

Таким образом, стороны треугольника: $a, a+1, a+2$.

3. Косинус среднего по величине угла равен $2/3$. Средняя сторона — $b = a+1$, поэтому средний по величине угол — угол напротив стороны $b$, то есть угол $B$.
   По теореме косинусов:

Подставляем стороны:

Раскроем скобки в числителе:

Знаменатель:

Итак, уравнение:

Решаем уравнение:

Перемножаем крест-накрест:

Переносим всё в одну сторону:

Находим $a$ через квадратное уравнение:

Отрицательный корень не подходит, поэтому:

Находим остальные стороны: