В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны. Вычислите расстояние от центра шара до плоскости боковой грани пирамиды, если объем шара равен \( \frac{256}{3} \pi \) см\(^3\).

Объем шара равен

По условию:

Сократим на $\frac{\pi}{3}$:

Радиус шара равен $4$ см.

Пусть ребро правильной четырехугольной пирамиды равно $a$. У пирамиды все ребра равны, значит ребро основания и боковое ребро равны $a$.

Рассмотрим основание пирамиды. Это квадрат со стороной $a$. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали:

Пусть высота пирамиды равна $h$. Тогда боковое ребро, высота пирамиды и радиус описанной окружности основания образуют прямоугольный треугольник:

Отсюда:

Центр шара, описанного около такой пирамиды, лежит на оси пирамиды. Поскольку все ребра пирамиды равны, центр шара совпадает с центром основания. Тогда радиус шара равен расстоянию от центра основания до вершины основания:

Так как $R=4$, получаем:

Теперь найдем расстояние от центра шара до плоскости боковой грани.

Возьмем одну боковую грань. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Нужно найти расстояние от центра шара, то есть от центра основания пирамиды, до плоскости этой боковой грани.

Можно получить это расстояние через координаты. Пусть центр основания — точка $O$. Тогда для одной боковой грани расстояние от $O$ до ее плоскости оказывается равным

Подставим $a=4\sqrt2$:

Упростим:

Рационализируем знаменатель:

Ответ: