Дана пирамида, у которой все боковые грани с плоскостью основания образуют равные углы. Какие из утверждений верны? основанием пирамиды не может быть прямоугольный треугольник основанием пирамиды может быть произвольный треугольник вершина пирамиды проецируется в точку пересечения биссектрис основания все высоты боковых граней равны

Обозначим вершину пирамиды через $S$, а её ортогональную проекцию на плоскость основания — через $O$. Опустим из $O$ перпендикуляры на стороны основания. Например, для стороны $AB$:

Точка $M$ является основанием перпендикуляра. Плоскость $SOM$ перпендикулярна стороне $AB$, поэтому угол между боковой гранью $SAB$ и плоскостью основания равен углу $SMO$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$:

Высота пирамиды $SO$ одна и та же для всех боковых граней. Поскольку углы наклона всех боковых граней к основанию равны, расстояния от точки $O$ до всех сторон основания также равны. Следовательно, $O$ является центром вписанной окружности основания, то есть точкой пересечения биссектрис его углов.

Рассмотрим утверждения.

1. «Основанием пирамиды не может быть прямоугольный треугольник» — неверно.
   У любого треугольника, в том числе прямоугольного, существует центр вписанной окружности. Если через этот центр провести перпендикуляр к плоскости основания и выбрать на нём вершину пирамиды, все боковые грани будут одинаково наклонены к основанию.

2. «Основанием пирамиды может быть произвольный треугольник» — верно.
   У любого треугольника есть точка, равноудалённая от всех его сторон, — центр вписанной окружности. Поэтому такую пирамиду можно построить над любым треугольником.

3. «Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения биссектрис основания» — верно.
   Проекция вершины равноудалена от всех сторон треугольника, а такой точкой внутри треугольника является центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

4. «Все высоты боковых граней равны» — верно.
   Высота боковой грани, проведённая из вершины $S$ к соответствующей стороне основания, равна

Значение $SO$ общее, а расстояния $OM$ до всех сторон равны, поэтому равны и все высоты боковых граней.

Верны утверждения 2, 3 и 4.