В шар вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 30°. Вычислить радиус и объём шара, если высота цилиндра равна 54 см.

В осевом сечении цилиндра получаем прямоугольник. Его высота равна высоте цилиндра:

Ширина этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра, то есть $2r$, где $r$ — радиус основания цилиндра.

Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Угол между диагональю и плоскостью основания можно рассматривать через прямоугольный треугольник, где вертикальный катет — это высота цилиндра $54$, а горизонтальный катет — диаметр основания $2r$.

Поэтому:

Так как

получаем:

Отсюда:

То есть диаметр основания цилиндра равен:

Теперь найдём радиус шара. Если цилиндр вписан в шар, то диагональ осевого сечения цилиндра является диаметром шара. Значит, диаметр шара равен диагонали прямоугольника со сторонами $54$ и $54\sqrt3$:

Следовательно, радиус шара:

Теперь найдём объём шара:

Подставим $R=54$:

Ответ: