В равнобедренном треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Найдите расстояние от вершины

Ответы на вопрос

Отвечает Назаров Рафаэль.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ даны стороны:

AB = BC = 10 \text{ см}, \quad AC = 16 \text{ см}

Так как равные стороны — $AB$ и $BC$ , основание треугольника — это $AC$ . Вершина равнобедренного треугольника находится в точке $B$ .

Точка $O$ — точка пересечения медиан, то есть центроид треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$ , считая от вершины.

Нужно найти расстояние $AO$ .

Проведём медиану из вершины $B$ к стороне $AC$ . Она также будет высотой, потому что треугольник равнобедренный.

Пусть $M$ — середина основания $AC$ . Тогда:

AM = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}

В прямоугольном треугольнике $ABM$ :

AB = 10 \text{ см}, \quad AM = 8 \text{ см}

Найдём высоту $BM$ :

BM^2 = AB^2 - AM^2

BM^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36

BM = 6 \text{ см}

Теперь удобно расположить треугольник на координатной плоскости. Пусть:

A(-8,0), \quad C(8,0), \quad B(0,6)

Точка пересечения медиан имеет координаты, равные среднему арифметическому координат вершин:

O\left(\frac{-8+0+8}{3}, \frac{0+6+0}{3}\right)

O(0,2)

Теперь найдём расстояние от $A(-8,0)$ до $O(0,2)$ :

AO = \sqrt{(0 - (-8))^2 + (2 - 0)^2}

AO = \sqrt{8^2 + 2^2}

AO = \sqrt{64 + 4}

AO = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}

Ответ:

\boxed{2\sqrt{17}\text{ см}}

В равнобедренном треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Найдите расстояние от вершины A до точки O, если AB = BC = 10 см, AC = 16 см.