В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны 14 см и 4 см, а боковое ребро равно 13 см. Найдите площадь полной поверхности и объём усечённой пирамиды.

Дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, значит основания — квадраты.

Стороны оснований: \(14\) см и \(4\) см, боковое ребро: \(13\) см.

Найдём апофему боковой грани. Боковая грань — равнобедренная трапеция с основаниями \(14\) и \(4\), боковыми сторонами \(13\). Половина разности оснований:

\[\frac{14-4}{2}=5\]

Тогда апофема:

\[l=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок}=\frac{P_1+P_2}{2}\cdot l\]

Периметры оснований:

\[P_1=4\cdot14=56,\quad P_2=4\cdot4=16\]

\[S_{бок}=\frac{56+16}{2}\cdot12=36\cdot12=432\]

Площади оснований:

\[S_1=14^2=196,\quad S_2=4^2=16\]

Полная поверхность:

\[S_{полн}=432+196+16=644\]

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды. Расстояние от центра большого основания до вершины большого квадрата: \(7\sqrt2\), малого: \(2\sqrt2\). Разность:

\[7\sqrt2-2\sqrt2=5\sqrt2\]

По боковому ребру:

\[h=\sqrt{13^2-(5\sqrt2)^2}=\sqrt{169-50}=\sqrt{119}\]

Объём усечённой пирамиды:

\[V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})\]

\[V=\frac{\sqrt{119}}{3}(196+16+\sqrt{196\cdot16})\]

\[\sqrt{196\cdot16}=56\]

\[V=\frac{\sqrt{119}}{3}\cdot268=\frac{268\sqrt{119}}{3}\]

Ответ: площадь полной поверхности \(644\text{ см}^2\), объём \(\frac{268\sqrt{119}}{3}\text{ см}^3\).

0 0 Пожаловаться