Докажите, что в равнобедренном треугольнике равны биссектрисы углов при основании.

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) и равными боковыми сторонами \( AB = BC \). Углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).

Проведём биссектрисы этих углов: \( AD \) (из угла \( A \) к стороне \( BC \)) и \( CE \) (из угла \( C \) к стороне \( AB \)). Так как \( \angle A = \angle C \), то их половины тоже равны: \( \angle BAD = \angle BCE \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle CBE \). В них:

• \( \angle BAD = \angle BCE \) (по доказанному),
• \( AB = BC \) (по условию),
• \( \angle ABD = \angle CBE \) (это один и тот же угол \( B \)).

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle CBE \) по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AD = CE \). Значит, биссектрисы углов при основании равны.

0 0 Пожаловаться