Даны две окружности, общие внутренние касательные которых взаимно перпендикулярны, а хорды, соединяющие точки касания, равны 5 см и 21 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Обозначим радиусы окружностей \(r_1\) и \(r_2\).

Внутренние касательные пересекаются в точке \(P\), лежащей на линии центров. Угол между касательными \(90^\circ\).

Хорды, соединяющие точки касания на каждой окружности, стягивают центральный угол \(90^\circ\) (так как радиусы перпендикулярны касательным). Длина хорды \(l = r\sqrt{2}\).

Тогда:
\(r_1\sqrt{2} = 5 \Rightarrow r_1 = \frac{5}{\sqrt{2}}\)
\(r_2\sqrt{2} = 21 \Rightarrow r_2 = \frac{21}{\sqrt{2}}\)

Расстояние от \(P\) до центра \(O_1\) равно \(O_1P = \frac{d \cdot r_1}{r_1+r_2}\). Угол между касательными \(\theta = 90^\circ\) связан с отношением \(\sin\frac{\theta}{2} = \frac{r_1}{O_1P} = \frac{r_1+r_2}{d}\).

Отсюда \(d = \frac{r_1+r_2}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2}(r_1+r_2)\).

Подставляем: \(r_1+r_2 = \frac{5+21}{\sqrt{2}} = \frac{26}{\sqrt{2}} = 13\sqrt{2}\).

\(d = \sqrt{2} \cdot 13\sqrt{2} = 13 \cdot 2 = 26\) см.

Ответ: 26 см.

0 0 Пожаловаться