В прямоугольной описанной трапеции диагонали пересекаются в точке K. Расстояния от точки K до боковых сторон равны 4 и 5. Найдите площадь трапеции и радиус вписанной окружности.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), высота равна \(h\), а боковая наклонная сторона равна \(l\).

Так как трапеция описанная, суммы противоположных сторон равны:

\[a + b = h + l\]

Точка пересечения диагоналей делит их так, что расстояние до прямой боковой стороны равно \(\frac{ab}{a+b}\). Для наклонной боковой стороны расстояние меньше в \(\frac{h}{l}\) раза.

Даны расстояния \(5\) и \(4\), значит:

\[\frac{h}{l} = \frac{4}{5}\]

Отсюда \(l = \frac{5h}{4}\), а разность оснований равна \(\frac{3h}{4}\). Тогда из условия описанной трапеции:

\[a + b = h + \frac{5h}{4} = \frac{9h}{4}\]

Для такой прямоугольной описанной трапеции расстояние от точки пересечения диагоналей до прямой боковой стороны равно \(\frac{h}{2}\). Поэтому:

\[\frac{h}{2} = 5\]

\[h = 10\]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\[r = \frac{h}{2} = 5\]

Площадь:

\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{\frac{9h}{4}}{2} \cdot h = \frac{9h^2}{8}\]

\[S = \frac{9 \cdot 100}{8} = \frac{225}{2}\]

Ответ: площадь трапеции \(\frac{225}{2}\), радиус вписанной окружности \(5\).

0 0 Пожаловаться