Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Докажите, что расстояние от каждой точки одной из двух параллельных прямых до второй прямой постоянно.

Пусть даны две параллельные прямые \( a \) и \( b \). Возьмём на прямой \( a \) две любые точки \( A \) и \( C \).

Опустим из них перпендикуляры на прямую \( b \): \( AB \perp b \) и \( CD \perp b \), где точки \( B \) и \( D \) лежат на прямой \( b \).

Так как \( a \parallel b \), то отрезок \( AC \) параллелен отрезку \( BD \). Кроме того, \( AB \perp b \) и \( CD \perp b \), значит \( AB \parallel CD \).

Получается четырёхугольник \( ABCD \), у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть это параллелограмм. Так как в нём есть прямой угол, он является прямоугольником.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит \( AB = CD \).

Отрезки \( AB \) и \( CD \) — это расстояния от точек \( A \) и \( C \) до прямой \( b \). Так как точки \( A \) и \( C \) выбраны произвольно, расстояние от любой точки прямой \( a \) до прямой \( b \) постоянно.

0 0 Пожаловаться