Докажите, что если в параллелограмме диагональ является биссектрисой, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$. Нужно доказать, что этот параллелограмм является ромбом, то есть все его стороны равны.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$.

У них:

1. Сторона $AC$ — общая.

2. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то:

Следовательно, углы:

являются внутренними накрест лежащими углами.

3. По условию диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A$, значит:

Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $CDA$:

и

а сторона $AC$ общая.

Следовательно, треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих сторон:

То есть две соседние стороны параллелограмма равны.

Но в параллелограмме противоположные стороны равны:

Так как:

то получаем:

Все стороны параллелограмма равны, значит, по определению, он является ромбом.

Следовательно, если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб. Доказано.