Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. BH — высота. AB = 5, BC = 6, 15BH = 16BO. Найдите площадь треугольника HAB.

Пусть \(AB = c = 5\), \(BC = a = 6\), \(AC = b\), а радиус описанной окружности \(BO = R\).

Дано:

\[15BH = 16BO\]

То есть:

\[BH = \frac{16}{15}R\]

Высота из вершины \(B\) к стороне \(AC\):

\[BH = AB \cdot \sin A = 5\sin A\]

По теореме синусов:

\[BC = 2R\sin A\]

Так как \(BC = 6\), получаем:

\[6 = 2R\sin A\]

\[R\sin A = 3\]

Тогда:

\[BH = 5\sin A = \frac{5 \cdot 3}{R} = \frac{15}{R}\]

По условию:

\[\frac{15}{R} = \frac{16}{15}R\]

\[16R^2 = 225\]

\[R = \frac{15}{4}\]

Тогда:

\[BH = \frac{16}{15} \cdot \frac{15}{4} = 4\]

В прямоугольном треугольнике \(ABH\):

\[AH^2 = AB^2 - BH^2\]

\[AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\]

\[AH = 3\]

Площадь треугольника \(HAB\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\]

Ответ: \(6\).

0 0 Пожаловаться