Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, вычисляется по формуле r = (a + b - c) / 2.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами.

Через катеты:

\[S=\frac{ab}{2}.\]

Если в треугольник вписана окружность радиуса \(r\), то его площадь равна произведению полупериметра \(p\) на радиус:

\[S=pr=\frac{a+b+c}{2}r.\]

Приравняем выражения для площади:

\[\frac{ab}{2}=\frac{a+b+c}{2}r,\]

откуда

\[r=\frac{ab}{a+b+c}.\]

Так как \(c^2=a^2+b^2\), то

\[(a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2=2ab.\]

Следовательно,

\[\frac{ab}{a+b+c}=\frac{a+b-c}{2}.\]

Значит, \[r=\frac{a+b-c}{2}.\]

0 0 Пожаловаться