Решите уравнения: 1)4cos^2x-1=0 2)2sin^2x-5cosx+1=0 3)1+2sin2x+2cos^2x=0

Решу по очереди все три уравнения и заодно распишу ход мыслей.

1) $4\cos^2 x - 1 = 0$

Переносим 1 вправо и делим на 4:

Отсюда:

Теперь выписываем решения:

• $\cos x = \frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

• $\cos x = -\frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Можно оставить в таком виде или сгруппировать по отдельно стоящим уравнениям $\cos x = \frac12$ и $\cos x = -\frac12$.

Ответ к 1):

2) $2\sin^2 x - 5\cos x + 1 = 0$

Заменим $\sin^2 x$ через $\cos x$ по формуле:

Подставляем:

Раскрываем скобки:

Умножаем на $-1$, чтобы было привычнее:

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Решаем его:

Получаем два значения:

1. $\cos x = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac12$.

2. $\cos x = \dfrac{-5 - 7}{4} = \dfrac{-12}{4} = -3$ — невозможно, т.к. $\cos x$ по модулю не может быть больше 1.

Остаётся только:

А это даёт:

Ответ ко 2):