Найдите корень уравнения \((x+6)^2 = (15-x)^2\).

Для того чтобы найти корень уравнения $(x+6)^2 = (15-x)^2$, давайте разберемся, как его решить шаг за шагом.

1. Распишем уравнение:

   $(x+6)^2 = (15-x)^2.$

2. Возьмем квадратные корни с обеих сторон:

   Так как обе стороны уравнения — это квадраты, можно избавиться от квадратов, взяв корень из обеих частей. Однако нужно помнить, что при взятии квадратного корня возможны два варианта: положительный и отрицательный. Таким образом, у нас будет два случая:

   $x + 6 = 15 - x \quad \text{или} \quad x + 6 = -(15 - x).$

3. Решим первый случай $x + 6 = 15 - x$:

   Переносим все элементы с $x$ на одну сторону:

   $x + x = 15 - 6,$
   $2x = 9,$
   $x = \frac{9}{2} = 4.5.$

4. Решим второй случай $x + 6 = -(15 - x)$:

   Раскроем скобки:

   $x + 6 = -15 + x.$

   Переносим все элементы с $x$ на одну сторону:

   $x - x = -15 - 6,$
   $0 = -21.$

   Это уравнение не имеет решения, так как оно приводит к противоречию.

5. Ответ:

   Единственный корень уравнения — $x = 4.5$.