Найдите промежутки возрастания и убывания, а также наименьшее значение функции \( y = 2x^2 + 8x + 2 \).

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ и её наименьшего значения, будем действовать пошагово.

1. Приводим функцию к стандартному виду

Функция $y = 2x^2 + 8x + 2$ является квадратной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = 8$, и $c = 2$.

2. Нахождение производной

Для определения промежутков возрастания и убывания, нужно найти первую производную функции:

3. Нахождение критических точек

Для поиска критических точек приравниваем производную к нулю:

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: $x = -2$.

4. Определение наименьшего значения

Поскольку коэффициент при $x^2$ в функции положительный ($a = 2$), парабола открывается вверх, и в точке $x = -2$ будет минимальное значение функции. Чтобы найти это значение, подставим $x = -2$ в исходную функцию:

Значение функции в точке $x = -2$ равно $-6$.

5. Промежутки возрастания и убывания

Для нахождения промежутков возрастания и убывания анализируем знак производной $y' = 4x + 8$:

• При $x < -2$ производная $y' = 4x + 8$ отрицательная (так как $x$ меньше $-2$).

• При $x > -2$ производная $y' = 4x + 8$ положительная (так как $x$ больше $-2$).

Таким образом:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2)$.

• Функция возрастает на промежутке $(-2, \infty)$.

Ответ:

• Промежуток убывания: $(-\infty, -2)$.

• Промежуток возрастания: $(-2, \infty)$.

• Наименьшее значение функции равно $-6$, оно достигается в точке $x = -2$.