√2 sin(x/3) = -1. Решить с подробным объяснением.

Решим уравнение

1) Приведём к «чистой» синусоиде.
Поделим обе части на $\sqrt2$:

2) Найдём углы, где $\sin \theta=-\frac{\sqrt2}{2}$.
Опорный угол $\frac{\pi}{4}$. Значение синуса отрицательно в III и IV четвертях, значит

Здесь $\theta=\dfrac{x}{3}$. Подставляем:

3) Выразим $x$.

Это и есть общее решение. (Можно записать эквивалентно через отрицательный базовый угол:
$x=-\dfrac{3\pi}{4}+6\pi k$ или $x=\dfrac{15\pi}{4}+6\pi k$.)

Проверка периода.
Так как $\sin\left(\frac{x}{3}\right)$ имеет период $6\pi$ по $x$, шаг $6\pi$ в решениях корректен.

Ответ: