Вопрос задан 28.12.2025 в 13:54. Предмет Математика. Спрашивает Тастан Амина.

Решите уравние 2tg x -ctg x -1=0

Перейти к ответам

Ответы на вопрос

Отвечает Соколов Никитос.

Решим 2tan⁡x−cot⁡x−1=02\tan x-\cot x-1=0.

Положим t=tan⁡xt=\tan x (тогда t≠0t\neq 0, так как в уравнении есть cot⁡x=1tan⁡x\cot x=\frac1{\tan x}). Получим

2t−1t−1=0    ⟹    (2t−1t−1)⋅t=02t-\frac1t-1=0 \;\;\Longrightarrow\;\; (2t-\frac1t-1)\cdot t=0 2t2−t−1=0.2t^2-t-1=0.

Квадратное уравнение:

D=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=1+8=9,D=3,D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9,\quad \sqrt D=3, t=1±34  ⇒  t1=1,    t2=−12.t=\frac{1\pm 3}{4}\;\Rightarrow\; t_1=1,\;\; t_2=-\frac12.

Возвращаясь к xx:

tan⁡x=1  ⇒  x=π4+πk,  k∈Z;\tan x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac\pi4+\pi k,\; k\in\mathbb Z; tan⁡x=−12  ⇒  x=arctan⁡ ⁣(−12)+πk=−arctan⁡ ⁣(12)+πk,  k∈Z.\tan x=-\frac12 \;\Rightarrow\; x=\arctan\!\Big(-\frac12\Big)+\pi k = -\arctan\!\Big(\frac12\Big)+\pi k,\; k\in\mathbb Z.

Учитывая область допустимых значений (x≠πnx\neq \pi n, где cot⁡x\cot x не определена), найденные решения ей не противоречат.

Ответ:

 x=π4+πk    или    x=−arctan⁡ ⁣(12)+πk,  k∈Z .\boxed{\,x=\frac\pi4+\pi k\;\; \text{или}\;\; x=-\arctan\!\Big(\frac12\Big)+\pi k,\; k\in\mathbb Z\, }.

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика

Математика 02.10.2026 17:49 13 Солдатова Варя
Задать вопрос