Cos2x=1-cos(пи на 2-x); Найти корни [-5п/2;-п]

Рассмотрим уравнение $\cos(2x) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

Шаг 1: Упростим правую часть уравнения

Мы знаем, что:

Используем это тождество, и уравнение преобразуется в:

Шаг 2: Разберемся с уравнением

Теперь нам нужно решить уравнение:

Используем формулу для $\cos(2x)$:

Теперь подставим это в исходное уравнение:

Шаг 3: Упростим уравнение

Отнимем 1 с обеих сторон:

Теперь разделим обе части на -1:

Переносим все в одну сторону:

Вынесем общий множитель:

Шаг 4: Решим полученное уравнение

Теперь у нас два возможных случая:

1. $\sin(x) = 0$

2. $2\sin(x) - 1 = 0$

Первый случай: $\sin(x) = 0$

$\sin(x) = 0$ при $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

Второй случай: $2\sin(x) - 1 = 0$

Решаем для $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Это выражение выполняется при:

Шаг 5: Найдем корни на интервале $[-5\pi/2; -\pi]$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $[-5\pi/2; -\pi]$.

Для случая $\sin(x) = 0$

Корни: $x = n\pi$.

Найдем такие значения $n\pi$, которые лежат в интервале $[-5\pi/2; -\pi]$. Это значения $x = -3\pi, -2\pi$.

Для случая $\sin(x) = \frac{1}{2}$

Корни: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

Посмотрим на эти значения:

• $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ не попадает в данный интервал.

• $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ также не попадает в данный интервал.

Шаг 6: Ответ

Таким образом, корни уравнения на интервале $[-5\pi/2; -\pi]$ — это $x = -3\pi$ и $x = -2\pi$.