Cos x < корень из 3/2

Для решения неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$, рассмотрим, при каких значениях $x$ косинус принимает значения, меньшие чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Определим, при каких $x$ косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$:
   Косинус принимает значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Эти углы соответствуют периодичности функции косинуса, которая имеет период $2\pi$.

2. Неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$:
   Косинус $x$ меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервалах между углами, где косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть:

   • Для $0 \leq x < 2\pi$ неравенство выполнено на интервалах $\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right)$ и $\left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)$.

   Это можно проиллюстрировать следующим образом:

   • В интервале $\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right)$ косинус принимает значения от $\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $-1$.

   • В интервале $\left( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \right)$ косинус снова принимает значения от $-1$ до $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Обобщение:
   Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, можно записать общий вид решения как:

   $$x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right)$$

   где $k$ — целое число.

Таким образом, решение неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ — это все значения $x$, которые принадлежат указанным интервалам для всех целых $k$.