Решите неравенства xв квадрате-7x<0 x в кубе-64x>0

Решим неравенство $x^2 - 7x \geq 0$.

1. Перепишем неравенство:

   $$x^2 - 7x \geq 0$$

   Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

   $$x(x - 7) \geq 0$$

2. Найдем нули функции:

   Функция $x(x - 7)$ равна нулю, когда $x = 0$ или $x = 7$. Эти значения разделяют числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 7)$, и $(7, \infty)$.

3. Проверим знак на каждом интервале:

   • Для интервала $(-\infty, 0)$: Пусть $x = -1$. Подставляем в неравенство:

     $$(-1)(-1 - 7) = (-1)(-8) = 8 \geq 0$$

     Значение положительное, значит на этом интервале неравенство выполняется.

   • Для интервала $(0, 7)$: Пусть $x = 1$. Подставляем в неравенство:

     $$(1)(1 - 7) = (1)(-6) = -6 \geq 0$$

     Значение отрицательное, значит на этом интервале неравенство не выполняется.

   • Для интервала $(7, \infty)$: Пусть $x = 8$. Подставляем в неравенство:

     $$(8)(8 - 7) = (8)(1) = 8 \geq 0$$

     Значение положительное, значит на этом интервале неравенство выполняется.

4. Итог:

   Неравенство $x(x - 7) \geq 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, 0]$ и $[7, \infty)$.

   Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [7, \infty)$.