решить уравнения sin4x cos4x=0.5 sin x/3 cos x/3=0.5 sin(в квадрате)х/2=3/4

Для решения системы уравнений давайте разобьем каждое из них поочередно.

Уравнение 1: sin(4x) * cos(4x) = 0.5

Используем тригонометрическое тождество:

Для данного уравнения $A = 4x$, следовательно:

Тогда уравнение становится:

Умножим обе стороны на 2:

Решение уравнения $\sin(8x) = 1$ происходит, когда аргумент синуса равен $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Таким образом, имеем:

Разделим обе части на 8:

Где $k$ — целое число.

Уравнение 2: $\frac{\sin(x)}{3} \cdot \frac{\cos(x)}{3} = 0.5$

Приведем уравнение к более удобному виду:

Умножим обе части на 9:

Но синус и косинус не могут принимать значения, превышающие 1 по абсолютной величине, следовательно, это уравнение не имеет решения.

Уравнение 3: $\sin^2(x/2) = \frac{3}{4}$

Теперь решим уравнение:

Возьмем квадратный корень обеих сторон:

Решение для $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ дает $\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ или $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

А для $\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ решение дает $\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ или $\theta = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$.

Таким образом, для $x/2$ получаем:

Умножив обе части на 2:

Таким образом, решения для $x$ будут:

Итак, у нас есть два решения для третьего уравнения.

Резюме решений:

• Для уравнения $\sin(4x) \cos(4x) = 0.5$: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}$