Tg(x-pi/4)=корень из 3

Решим уравнение $\tan(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$.

1. Вспоминаем стандартные значения тангенса. Мы знаем, что $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Это важное наблюдение, так как оно нам подскажет, чему может быть равно выражение $x - \frac{\pi}{4}$.

2. Преобразуем уравнение. Мы знаем, что $\tan(\theta) = \sqrt{3}$ при $\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$, где $n$ — целое число, так как тангенс имеет период $\pi$.

   Это означает, что:

   $$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + n\pi$$

3. Изолируем $x$. Добавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям уравнения:

   $$x = \frac{\pi}{3} + n\pi + \frac{\pi}{4}$$

4. Приводим к общему знаменателю. Для того чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $3$ и $4$ — это $12$. Перепишем:

   $$\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$$

   Подставляем это в уравнение:

   $$x = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + n\pi$$

   Объединяем дроби:

   $$x = \frac{7\pi}{12} + n\pi$$

5. Ответ. Общее решение уравнения:

   $$x = \frac{7\pi}{12} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это и есть все возможные значения $x$, которые удовлетворяют исходному уравнению.