Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \sin^2x - \cos^2x \) на отрезке \([0; \pi]\).

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sin^2 x - \cos^2 x$ на отрезке $[0; \pi]$, начнем с анализа самой функции.

Шаг 1: Упростим выражение для функции.

Используем известное тригонометрическое тождество:

Таким образом, функция $y$ принимает вид:

Шаг 2: Исследуем функцию $y = -\cos(2x)$ на отрезке $[0; \pi]$.

Рассмотрим поведение функции на этом отрезке. Функция $\cos(2x)$ является косинусом, и её аргумент — это $2x$, что приводит к удвоению частоты колебаний.

На отрезке $[0; \pi]$, аргумент косинуса $2x$ изменяется от $0$ до $2\pi$.

• В точке $x = 0$ функция $\cos(2x) = \cos(0) = 1$, следовательно, $y = -1$.

• В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция $\cos(2x) = \cos(\pi) = -1$, следовательно, $y = 1$.

• В точке $x = \pi$ функция $\cos(2x) = \cos(2\pi) = 1$, следовательно, $y = -1$.

Шаг 3: Находим наибольшее и наименьшее значения.

Функция $y = -\cos(2x)$ принимает минимальное значение, равное $-1$, в точках $x = 0$ и $x = \pi$. Это и есть наименьшее значение на отрезке $[0; \pi]$.

Максимальное значение функции достигается в точке $x = \frac{\pi}{2}$, где $y = 1$.

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $1$, а наименьшее — $-1$.