27^{\log_3 2 + \log_{18} 2 + 2 \log_{18} 3} найти значение выражения

Чтобы найти значение выражения $27^{\log_3 2 + \log_{18} 2 + 2 \log_{18} 3}$, давайте разберемся с каждым из логарифмов и упрощением.

1. Начнем с преобразования логарифмов с разными основаниями в более удобные для вычислений формы.

Переводим $\log_{18} 2$ и $\log_{18} 3$ в логарифмы с основанием 3:

Мы можем использовать формулу изменения основания логарифма:

где $k$ — это любое подходящее основание, например, 3.

• $\log_{18} 2 = \frac{\log_3 2}{\log_3 18}$

• $\log_{18} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 18}$

Теперь, используя свойства логарифмов, можем упростить:

• $\log_3 18 = \log_3 (3^2 \cdot 2) = \log_3 3^2 + \log_3 2 = 2 + \log_3 2$

• $\log_3 3 = 1$

Подставим эти выражения в исходное выражение:

2. Обозначим $x = \log_3 2$ для удобства. Теперь выражение принимает вид:

3. Приведем подобные выражения. Для этого вынесем общий знаменатель $2 + x$:

Теперь можно привести это к одному знаменателю:

Упростим числитель:

Таким образом, выражение становится:

4. Теперь подставим $x = \log_3 2$: