Вычислите угол между векторами m и q=m-2k+3p, где m, k, p ― единичные взаимно-перпендикулярные векторы.

Для вычисления угла между векторами $\mathbf{m}$ и $\mathbf{q} = \mathbf{m} - 2\mathbf{k} + 3\mathbf{p}$, где $\mathbf{m}, \mathbf{k}, \mathbf{p}$ — единичные взаимно-перпендикулярные векторы, будем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

Поскольку $\mathbf{m}, \mathbf{k}, \mathbf{p}$ — единичные векторы, их длины равны 1, то $|\mathbf{m}| = 1$ и $|\mathbf{q}|$ можно вычислить из выражения для $\mathbf{q}$.

Шаг 1. Сначала вычислим скалярное произведение $\mathbf{m} \cdot \mathbf{q}$.

Вектор $\mathbf{q}$ задан как $\mathbf{q} = \mathbf{m} - 2\mathbf{k} + 3\mathbf{p}$. Рассчитаем скалярное произведение $\mathbf{m} \cdot \mathbf{q}$:

Используя линейность скалярного произведения:

Поскольку $\mathbf{m}$, $\mathbf{k}$ и $\mathbf{p}$ взаимно перпендикулярны, то их скалярные произведения равны нулю, кроме $\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}$, которое равно 1 (так как $\mathbf{m}$ — единичный вектор). Получаем:

Шаг 2. Найдем длину вектора $\mathbf{q}$.

Длина вектора $\mathbf{q}$ вычисляется по формуле:

Рассчитаем скалярное произведение $\mathbf{q} \cdot \mathbf{q}$:

Раскроем скалярное произведение:

Используя взаимную перпендикулярность векторов, все скалярные произведения, кроме $\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1$ и $\mathbf{p} \cdot \mathbf{p} = 1$, равны нулю. Получаем:

Следовательно, длина вектора $\mathbf{q}$ равна:

Шаг 3. Рассчитаем угол между векторами $\mathbf{m}$ и $\mathbf{q}$.

Теперь можем найти косинус угла между векторами $\mathbf{m}$ и $\mathbf{q}$:

Таким образом, угол $\theta$ между векторами $\mathbf{m}$ и $\mathbf{q}$ можно найти как: