Решите уравнение: (х² + 4х)(х² + 4х - 17) + 60 = 0

Давайте решим уравнение $(x^2 + 4x)(x^2 + 4x - 17) + 60 = 0$.

1. Введем замену. Обозначим $y = x^2 + 4x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$(y)(y - 17) + 60 = 0.$$

2. Раскроем скобки:

   $$y(y - 17) + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 - 17y + 60 = 0.$$

3. Получаем квадратное уравнение:

   $$y^2 - 17y + 60 = 0.$$

4. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 1$, $b = -17$, $c = 60$. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2}.$$

5. Извлекаем квадратный корень:

   $$y = \frac{17 \pm 7}{2}.$$

6. Получаем два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{или} \quad y = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5.$$

7. Теперь возвращаемся к переменной $x$. Мы знаем, что $y = x^2 + 4x$. Таким образом, для каждого из значений $y$ решаем уравнения:

   • $x^2 + 4x = 12$ и

   • $x^2 + 4x = 5$.

Решение первого уравнения: $x^2 + 4x = 12$

Приводим уравнение к стандартному виду:

Решаем с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Решение второго уравнения: $x^2 + 4x = 5$

Приводим уравнение к стандартному виду: