В треугольнике АВС АС=ВС=27, АН — высота, cos ВАС=2/3. Найдите ВН.

Разложу задачу в координатах — так короче всего.

Пусть $A=(0,0)$, $AB$ лежит на оси $x$, $B=(c,0)$.
Дано: $AC=BC=27$ и $\cos\angle BAC=\frac{2}{3}$. Тогда точка $C$ имеет координаты

Из условия $BC=27$:

Значит $B=(36,0)$ и $AB=36$.

Теперь опустим высоту $AH$ на $BC$. Вектор

Точка проекции $H$ на прямую $BC$ из $A$ имеет вид

Скалярные произведения:

Отсюда

Значит отрезок $BH$ — это доля $t$ от длины $BC$:

Ответ: $BH=24$.