((sin t + cos t)^2 - 1) / (ctg t - sin t cos t) = 2 tg^2 t

Докажем тождество (при тех $t$, где выражение определено):

1) Упростим числитель

Так как $\sin^2 t+\cos^2 t=1$, получаем:

2) Упростим знаменатель

Вынесем $\cos t$:

Приведём к общему знаменателю внутри скобок:

Но $1-\sin^2 t=\cos^2 t$, значит:

3) Делим числитель на знаменатель

Теперь исходная дробь:

Получили правую часть, значит тождество верно.

Область допустимых значений

Нужно, чтобы $\ctg t$ была определена и знаменатель не был нулём:

• $\sin t\neq 0$ (иначе $\ctg t$ не определена),

• $\frac{\cos^3 t}{\sin t}\neq 0$, то есть $\cos t\neq 0$.

Итак, $\sin t\neq 0$ и $\cos t\neq 0$, то есть $t\neq \frac{\pi}{2}k$ для любого целого $k$.