(корень из (3x + 7)) - 3 = x. Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения.

Решим уравнение:

1) Область допустимых значений

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Также после переноса получаем

а левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной:

Совмещаем условия: $x\ge -\frac{7}{3}$ (это сильнее, чем $x\ge -3$).

2) Возведение в квадрат

Раскрываем скобки:

Переносим всё в одну сторону:

Факторизуем:

Отсюда:

3) Проверка корней

Оба корня удовлетворяют ОДЗ $x\ge -\frac{7}{3}$.

Проверим в исходном уравнении:

• $x=-1$: $\sqrt{3(-1)+7}-3=\sqrt{4}-3=2-3=-1$ — верно.

• $x=-2$: $\sqrt{3(-2)+7}-3=\sqrt{1}-3=1-3=-2$ — верно.

Значит, корни уравнения: $\{-2,\,-1\}$.

4) Промежуток, которому принадлежат все корни

Оба корня лежат на отрезке от $-2$ до $-1$. Следовательно, все корни уравнения принадлежат промежутку