Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Высота пирамиды опущена в точку пересечения его диагоналей. Меньшие боковые ребра пирамиды равны 5 см. Найдите объем пирамиды.

Основание — ромб с диагоналями $6$ см и $8$ см. Площадь ромба через диагонали:

Высота пирамиды опущена в точку пересечения диагоналей ромба, то есть в его центр. Рассмотрим расстояния от этой точки до вершин ромба.

Диагонали пересекаются и делятся пополам, значит половины диагоналей равны:

Точки концов диагоналей и есть вершины ромба, поэтому от центра до двух вершин расстояние $3$ см (концы меньшей диагонали), а до двух других — $4$ см (концы большей диагонали).

Пусть высота пирамиды равна $h$. Тогда боковое ребро до вершины, находящейся на расстоянии $r$ от центра основания, образует прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $r$, поэтому:

Меньшие боковые ребра соответствуют меньшему $r$, то есть $r=3$. По условию меньшие боковые ребра равны $5$ см:

Теперь объем пирамиды:

Ответ: $32\ \text{см}^3$.