Sin^2 x-5 sin X cos X +4cos^2x=0

Для решения уравнения $\sin^2(x) - 5\sin(x)\cos(x) + 4\cos^2(x) = 0$, давайте перейдем к пошаговому решению.

1. Используем тригонометрические тождества. В уравнении присутствуют $\sin^2(x)$ и $\cos^2(x)$, а также произведение $\sin(x)\cos(x)$. Попробуем преобразовать уравнение с помощью известных тождеств.

2. Воспользуемся заменой:

   $$\sin(x) = a \quad \text{и} \quad \cos(x) = b$$

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$$

3. Теперь решим это уравнение относительно $a$ и $b$. Можно выразить его как квадратное уравнение по $a$ (или по $b$):

   $$a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$$

   Разделим на $b^2$ (при условии, что $b \neq 0$):

   $$\left( \frac{a}{b} \right)^2 - 5 \cdot \frac{a}{b} + 4 = 0$$

4. Обозначим $\frac{a}{b} = t$, тогда уравнение становится:

   $$t^2 - 5t + 4 = 0$$

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

   Корни уравнения:

   $$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$

6. Возвращаемся к выражениям для $a$ и $b$:

   $$\frac{a}{b} = 4 \quad \text{или} \quad \frac{a}{b} = 1$$

   То есть:

   $$\sin(x) = 4\cos(x) \quad \text{или} \quad \sin(x) = \cos(x)$$

7. Рассмотрим оба случая.

   • Для $\sin(x) = \cos(x)$ делим обе стороны на $\cos(x)$ (при $\cos(x) \neq 0$):

     $$\tan(x) = 1$$

     Это уравнение имеет решение:

     $$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   • Для $\sin(x) = 4\cos(x)$ делим обе стороны на $\cos(x)$ (при $\cos(x) \neq 0$):

     $$\tan(x) = 4$$

     Это уравнение имеет решение:

     $$x = \arctan(4) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, общее решение уравнения: