Известно, что ctg a < 0, cos a > 0. Какое значение может принимать sin a?

Рассмотрим условие: $\operatorname{ctg}a<0$ и $\cos a>0$.

Напомним, $\operatorname{ctg}a=\dfrac{\cos a}{\sin a}$. Неравенство $\dfrac{\cos a}{\sin a}<0$ означает, что числитель и знаменатель имеют противоположные знаки. Раз $\cos a>0$, то $\sin a$ должен быть отрицательным (иначе отношение было бы положительным или не определено).

Кроме того, $\sin a\neq0$, так как при $\sin a=0$ $\operatorname{ctg}a$ не существует.

Итак, $\sin a<0$. Учитывая диапазон синуса, получаем

(Например, при $a=330^\circ$ имеем $\cos a=\tfrac{\sqrt3}{2}>0,\ \sin a=-\tfrac12<0$, и $\operatorname{ctg}a=\dfrac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3<0$.)