Корень из 4+2х-х^2=х-2

Решим уравнение $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$.

1. Домены и ограничения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Кроме того, квадратный корень даёт неотрицательное значение, значит правая часть должна быть $\ge0$:

2. Найдём интервал, где $4+2x-x^2\ge0$. Перепишем:

Корни квадратного трёхчлена: $x=1\pm\sqrt{5}$. Значит $4+2x-x^2\ge0$ при $x\in[\,1-\sqrt5,\;1+\sqrt5\,]$. Пересечение с $x\ge2$ даёт допустимый интервал

3. Возводим в квадрат (в допустимом интервале правая часть неотрицательна, поэтому это эквивалентная операция):

Приводим к нулю:

Разделим на $-2$:

Получаем кандидаты: $x=0$ и $x=3$.

4. Проверка по допустимому интервалу: $x=0$ не удовлетворяет $x\ge2$, значит отбрасываем. $x=3$ принадлежит интервалу $[2,\,1+\sqrt5]$ (так как $1+\sqrt5\approx3{,}236$), и подстановка даёт $\sqrt{4+6-9}=\sqrt{1}=1$ и правая часть $3-2=1$ — верно.

Ответ: $x=3$.