В треугольнике ABC угол A=60°, угол B=75°, BC=15. Найти AB.

Для того чтобы найти сторону $AB$ в треугольнике $ABC$, где угол $A = 60^\circ$, угол $B = 75^\circ$ и сторона $BC = 15$, можно воспользоваться теоремой синусов.

1. Сначала найдем угол $C$. В треугольнике сумма всех углов равна $180^\circ$, поэтому:

   $$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ.$$

2. Теперь, применяем теорему синусов. Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противоположного угла постоянно. То есть:

   $$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}.$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{15}{\sin 60^\circ}.$$

3. Значения синусов:

   $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

4. Подставим эти значения в уравнение:

   $$\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$$

5. Упростим обе части уравнения:

   $$AB \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 15 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}.$$

6. Упростим дроби:

   $$AB \cdot \sqrt{2} = 15 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}.$$

7. Переносим $\sqrt{2}$ на правую сторону:

   $$AB = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$

8. Упростим выражение:

   $$AB = \frac{15 \cdot \sqrt{6}}{2}.$$

Таким образом, длина стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ равна $\frac{15 \sqrt{6}}{2}$.