Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг меньшего катета, а во второй раз вокруг большего катета. Сравнить объемы этих конусов.

Чтобы сравнить объемы конусов, которые образуются при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катетов, сначала нужно понять, как вычисляются объемы таких конусов.

Объем конуса вычисляется по формуле:

где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.

Вращение вокруг меньшего катета (катет 3 см)

При вращении треугольника вокруг меньшего катета (3 см), этот катет станет высотой конуса, а больший катет (4 см) будет радиусом основания. То есть:

• Радиус основания $r = 4$ см

• Высота $h = 3$ см

Объем конуса:

Вращение вокруг большего катета (катет 4 см)

При вращении треугольника вокруг большего катета (4 см), этот катет станет высотой конуса, а меньший катет (3 см) будет радиусом основания. То есть:

• Радиус основания $r = 3$ см

• Высота $h = 4$ см

Объем конуса:

Сравнение объемов

Теперь сравним объемы двух конусов:

• $V_1 = 16 \pi \, \text{см}^3$

• $V_2 = 12 \pi \, \text{см}^3$

Из этого видно, что объем первого конуса, образованного вращением вокруг меньшего катета, больше и равен $16 \pi \, \text{см}^3$, а объем второго конуса, образованного вращением вокруг большего катета, равен $12 \pi \, \text{см}^3$.

Таким образом, объем первого конуса больше.