Прямоугольный треугольник вращается вокруг большого катета. Найдите объем полученной фигуры вращения, если один из катетов равен 8 сантиметров, а гипотенуза — 10 сантиметров.

Для решения задачи необходимо найти объем тела вращения, которое образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг большого катета.

1. Определим длину второго катета.

   Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, а также гипотенузой $c$ связан теоремой Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   Из условия задачи нам даны: $a = 8 \, \text{см}$, гипотенуза $c = 10 \, \text{см}$. Нужно найти длину второго катета $b$.

   Подставим данные в формулу:

   $$8^2 + b^2 = 10^2$$ $$64 + b^2 = 100$$ $$b^2 = 100 - 64 = 36$$ $$b = 6 \, \text{см}$$

2. Найдем объем тела вращения.

   Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из катетов, получается конус. Объем конуса можно найти по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

   где $r$ — радиус основания конуса, а $h$ — высота конуса. В данном случае:

   • радиус основания будет равен длине второго катета $b = 6 \, \text{см}$,

   • высота будет равна длине первого катета $a = 8 \, \text{см}$.

   Подставляем эти значения в формулу для объема:

   $$V = \frac{1}{3} \pi (6)^2 (8)$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8$$ $$V = \frac{1}{3} \pi \times 288$$ $$V = 96 \pi$$

3. Ответ.

   Объем тела вращения, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большого катета, равен $96 \pi \, \text{см}^3$. Если округлить, то объем примерно равен:

   $$V \approx 96 \times 3.14 = 301.44 \, \text{см}^3$$