вычислить дифференциал функции y=sin^2 x, при x0=pi/2

Давайте подробно разберём, как вычислить дифференциал функции $y = \sin^2 x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Шаг 1. Напомним определение дифференциала

Дифференциал функции $y = f(x)$ обозначается как $dy$ и вычисляется по формуле:

где $f'(x)$ — производная функции по $x$, а $dx$ — приращение аргумента.

Шаг 2. Найдём производную функции

Наша функция:

Используем правило цепочки: $(\sin x)^2$' = 2 $\sin x \cdot \cos x$.
То есть:

Можно записать также через тригонометрическую формулу:

(потому что $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$).

Шаг 3. Вычислим производную в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$

$\sin(\pi/2) = 1$, $\cos(\pi/2) = 0$, поэтому

Шаг 4. Составим дифференциал

Дифференциал в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

✅ Ответ:

То есть при малом приращении $dx$ функции $y = \sin^2 x$ в точке $x = \pi/2$ дифференциал равен нулю.

Если хочешь, я могу ещё показать наглядную интерпретацию, почему дифференциал именно ноль в этой точке.