Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos(2x)cosx – sin(2x)sinx = 1.

Для решения уравнения $\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) = 1$, используем известные тригонометрические тождества.

Рассмотрим левую часть уравнения:

Это выражение напоминает форму косинуса суммы углов, согласно следующему тождеству:

Заменим $A$ на $2x$ и $B$ на $x$. Получаем:

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

Теперь решим это уравнение. Косинус равен 1, когда аргумент равен целому числу $2\pi$:

Из этого выражения находим $x$:

Необходимо найти наибольший отрицательный корень. Для этого подставим разные значения $k$:

• При $k = -1$ получаем $x = \frac{2(-1)\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$.

• При $k = -2$ получаем $x = \frac{2(-2)\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$.

• При $k = -3$ получаем $x = \frac{2(-3)\pi}{3} = -2\pi$.

Из этих корней наибольший отрицательный — это $x = -\frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения $\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) = 1$ равен $x = -\frac{2\pi}{3}$.