Решите уравнение: (a+4)(a−2)x = a²−4. При каком значении параметра a уравнение имеет бесконечное множество решений?

Для решения уравнения $(a+4)(a-2)x = a^2 - 4$, нужно найти, при каком значении параметра $a$ оно имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим уравнение:

1. Приведем правую часть уравнения. Выразим $a^2 - 4$ как разность квадратов:

2. Подставим это в уравнение:

3. Если $a-2 \neq 0$ (то есть $a \neq 2$), можно разделить обе части уравнения на $a-2$ (при условии, что $a \neq 2$):

4. Теперь решим относительно $x$:

Это решение при любом значении $a \neq 2$, то есть для всех $a \neq 2$, уравнение имеет одно решение.

5. Однако, для того чтобы уравнение имело бесконечное количество решений, необходимо, чтобы выражение слева и справа было одинаковым для всех $x$. Это возможно только в том случае, если множители при $x$ на левой части равны нулю, то есть если:

6. Из этого условия получаем два возможных значения для $a$:

Таким образом, $a = -4$ или $a = 2$.

7. Проверим эти значения:

• Если $a = -4$, подставим в исходное уравнение:

Это невозможное равенство, значит, $a = -4$ не подходит.

• Если $a = 2$, подставим в исходное уравнение:

Это верное равенство, и оно выполняется для любого значения $x$.

Ответ: Уравнение имеет бесконечное множество решений при $a = 2$.