Три положительных числа, сумма которых равна 12, составляют арифметическую прогрессию. Если к ним соответственно прибавить 1, 2, 6, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Пусть три искомых положительных числа составляют арифметическую прогрессию. Так как их сумма равна 12, удобно записать их в виде

Почему именно так? В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних, а сумма трёх чисел равна утроенному среднему члену. Поэтому среднее число равно

По условию к этим числам соответственно прибавляют $1, 2, 6$. Получаем:

то есть

Эти три числа должны составлять геометрическую прогрессию. Для трёх чисел геометрической прогрессии выполняется условие:

Значит,

Решим уравнение:

Разложим квадратный трёхчлен:

Отсюда

Проверим положительность исходных чисел.

Если $d=-7$, то числа:

Третье число отрицательное, поэтому этот вариант не подходит.

Если $d=2$, то числа:

Проверим условие:

Числа $3, 6, 12$ действительно составляют геометрическую прогрессию с знаменателем $2$.

Ответ: